Libro de Cálculo diferencial [Maynard Kong]

En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos y problemas resueltos y propuestos, y está dirigida a los estudiantes de Ciencias, Ingeniería y Economía.

En la presente edición, además de corregir algunos errores y reescribir varias partes del texto original, he agregado un capítulo al comienzo para tratar las sucesiones y series de números y otro capítulo, al final, para las aplicaciones del axioma del supremo.

Los estudiantes e instructores interesados directamente en las aplicaciones del Cálculo Diferencial pueden omitir el último capítulo que tiene un carácter eminentemente teórico y su propósito es mostrar la deducción de los teoremas mas importantes sobre los números reales partiendo de una presentación axiomática de los mismos.

El texto comprende temas sobre sucesiones y series, conceptos de geometqa analítica del plano (las curvas: circulo, parábola, elipse e hipérbola, y la ecuación de segundo grado) necesarios en las aplicaciones posteriores, conceptos sobre límites, continuidad y derivación, y su uso en el estudio de las funciones.

Contenido:

• Sucesiones y Series
  • Valor absoluto.
    • Propiedades
  • Algunas fórmulas trigonométricas
  • Fórmulas de la geometría analítica del plano.
    • Distancia entre dos puntos.
    • Punto medio.
    • Pendiente de un segmento.
    • Ecuación de la recta.
    • Angulo entre dos rectas.
    • Distancia de un punto a una recta
  • Funciones de variable real a valores reales
  • Intervalos
  • Vectores en el plano
  • Sucesiones de números reales.
    • Sucesiones acotadas.
    • Sucesiones convergentes y divergentes.
    • Propiedades básicas.
    • Algunas sucesiones especiales.
  • Criterios de convergencia.
    • Criterios de Cauchy.
    • Sucesiones monótonas acotadas.
  • Series de números.
• El Círculo
  • Ecuación del circulo en coordenadas cartesianas
• La Parábola
  • Notación
  • Ecuaciones de la parábola con eje paralelo a un eje de coordenadas
  • Ecuación vectorial de la parábola
• La Elipse
  • Notación y algunas propiedades
  • Ecuación de la elipse con eje paralelo a un eje de coordenadas cartesianas
• La Hipérbola
  • Notación y algunas propiedades
  • Ecuación de la hipérbola con eje transversal paralelo a un eje de coordenadas cartesianas.
    • Asíntotas de una hipérbola
  • Hipérbolas conjugadas.
• La Ecuación General de Segundo Grado
  • Definición de sección cónica
  • Teorema de clasificación de secciones cónicas
  • Traslación de Ejes
  • Rotación de ejes
  • Definición de la ecuación general de segundo grado
  • Proposición: Eliminación del término cuadrático, ángulo de rotación
  • Teorema: Clasificación de la ecuación de segundo grado según el discriminante
  • Nota
• Límites de Funciones
  • Definición de límite
  • Propiedades sobre límites de funciones.
    • Limite de una función constante.
    • Límites de la suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones.
    • Límites de funciones polinómicas, racionales, potencias y raices.
    • Traslación de la variable independiente.
    • Teorema del Sandwich.
    • Limites trigonométricos.
    • Cambio de escala en la variable independiente.
    • Límite de la composición de dos funciones o de cambio de variable
  • Límites unilaterales
  • Limites que contienen infinito
  • Límites infinitos
  • Teorema: Límites infinitos de funciones
  • Teorema: Limites infinitos de funciones –
  • Limites de la forma
  • Asíntotas de una curva
• Continuidad
  • Continuidad en un punto
  • Continuidad en un intervalo abierto
  • Propiedades de preservación de la continuidad
  • Teorema: Composición de funciones continuas
  • Clasificación de las discontinuidades
  • Continuidad en un intervalo cerrado
  • Propiedades fundamentales de las funciones continuas
• Derivación y Funciones Elementales
  • Derivada de una función
  • Regla para calcular la derivada en un punto
  • Interpretación geométrica de la derivada. Recta tangente a una curva
  • Problemas Resueltos
  • Continuidad y Derivación
  • Derivadas por la derecha y por la izquierda
  • Propiedades de la derivación
  • Derivadas de algunas funciones básicas
  • Regla de derivación en cadena
• Aplicaciones de la Derivada
  • Derivadas de orden superior
  • Derivadas de una función implícita
  • Y derivadas de funciones representadas en forma paramétrica
  • Aplicaciones geométricas. Definición: rectas tangente y normal; segmentos y ángulo entre dos curvas
  • Razón de cambio. Velocidad y aceleración
  • Diferenciales: Definición. Observaciones. Aproximación de la diferencial. Propiedades de las diferenciales. Diferenciales de órdenes superiores
  • Valores máximos y mínimos de una función. Valor máximo absoluto, valor mínimo absoluto, valor mínimo relativo, extremo relativo. Teorema del extremo estacionario. Punto critico. Cálculo de máximos y mínimos absolutos
  • Problemas Resueltos
• El Teorema del Valor Medio y sus Aplicaciones
  • Teorema de Rolle
  • Teorema del valor medio. Teorema de Taylor
  • Teorema del valor medio generalizado
  • Teorema de la función constante. Teorema de la diferencia constante
  • Regla de L’Hospital. Evaluación de formas indeterminadas
  • Criterio de la primera derivada para extremos relativos
  • Criterio de la segunda derivada para extremos relativos
  • Cálculo de extremos absolutos en intervalos arbitrarios
  • Concavidad y puntos de inflexión
• Funciones Inversas
  • Teorema: Funciones inversas de funciones crecientes
  • Teorema: Función Inversa de funciones decrecientes
  • Derivada de la función inversa
• FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
  • La función arco seno
  • La función arco coseno
  • La función arco tangente
  • La función arco cotangente
  • La función arco secante
  • La función arco cosecante
  • Tabla de derivadas de las funciones trigonométricas inversas
• FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIAL
  • La función logaritmo natural.
  • Derivadá logarítmica
  • La función exponencial. .
  • La función exponencial general.
  • Derivada de la exponencial con exponente arbitrario
• El Axioma del Supremo y sus Aplicaciones
  • Axiomas de los números reales.
    • Adición, multiplicación, orden y axioma del supremo.
  • Números naturales, enteros y racionales.
  • Propiedades básicas de los números reales.
  • Aplicaciones del Axioma del Supremo.
    • Infimo. Parte
      entera de un numero real.
  • Propiedad arquirnediana.
  • Convergencia de sucesiones numéricas.
    • Criterio de las sucesiones monótonas acotadas.
    • Subsucesiones convergentes de sucesiones acotadas. Criterio de Cauchy.
  • Aplicaciones a las funciones continuas.
    • Teorema del valor intermedio.
    • Teorema de los valores máximo y mínimo.
    • Teorema de continuidad uniforme.

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