Números complejos | Series | Exponencial compleja

Los números complejos son una herramienta básica de cálculo. Son especialmente útiles para trabajar con funciones sinusoidales, y por eso se hace uso constante de ellos siempre que representamos una señal por medio de dichas funciones, y no hay que olvidar que ese es el propósito básico de los “métodos de Fourier”.

La Transformada de Fourier Discreta, una herramienta fundamental en el tratamiento digital de señales, toma valores complejos. Las transformadas de Fourier y de Laplace son funciones complejas. La transformada z, al igual que otras transformadas de uso frecuente, se define como una serie de números complejos. La función exponencial compleja desempeña un papel fundamental en el estudio de los Sistemas LTI (sistemas lineales invariantes en el tiempo) y también en la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales.

Ecuaciones Diferenciales

Una gran cantidad de procesos de todo tipo: físicos, biológicos, económicos, químicos, …se modelan matemáticamente por medio de ecuaciones diferenciales. La mecánica newtoniana y el electromagnetismo de Maxwell son ejemplos de teorías fundamentadas en sus respectivas ecuaciones diferenciales. La dinámica de poblaciones o el desarrollo de un tumor pueden describirse por medio de ecuaciones diferenciales.

Recuerda que la derivada es la herramienta que permite estudiar matemáticamente el cambio de una magnitud respecto a otra, por ello es natural que las ecuaciones diferenciales sean el modelo por excelencia para representar las relaciones que hay entre las magnitudes que intervienen en un fenómeno y sus respectivos cambios. En consecuencia, las ecuaciones diferenciales son la herramienta apropiada para resolver multitud de problemas.

Conceptos básicos de la teoría de Series de Fourier

Esencialmente la teoría de Series de Fourier persigue dos propósitos:

  • El análisis o descomposición de una señal como suma o superposición (en general infinita) de sinusoides.
  • La síntesis o recomposición de una señal a partir de sus sinusoides.
  • Habrás notado que estoy empleando la palabra “señal” como sinónimo de “función” y así lo seguiré haciendo a lo largo de esta lección con las precisiones que considere necesarias. En análisis armónico las señales más simples son las sinusoides a las que nos hemos referido antes.

Contenido:

  • Números complejos. Series. Exponencial compleja
    • Introducción
    • Operaciones básicas con números complejos 
    • Sucesiones y series
    • Funciones elementales complejas
  • Ecuaciones Diferenciales
    • Métodos de resolución de EDOs de primer orden
    • EDO en forma implícita
    • Ecuación diferencial lineal de orden n
    • Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
    • Algunas aplicaciones
    • Transformada de Laplace 
  • Conceptos básicos de la teoría de Series de Fourier
    • Polinomios trigonométricos y coeficientes de Fourier
    • Convergencia de las series de Fourier
    • Geometría de las series de Fourier
    • Introducción a la Transformada de Fourier Discreta
    • Transformada de Fourier
    • Convolución y transformada de Fourier
  • Ejercicios

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Autor: Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada