Este libro se origina como un intento de condensar en un solo lugar un gran conjunto de ideas, conceptos y herramientas matemáticas, básicas para la comprensión y el trabajo diario de un físico en nuestros días. Usualmente sucede que si un problema es formulado desde una necesidad de origen físico, como por ejemplo la descripción de algún fenómeno natural, entonces este está bien formulado, en el sentido de que existe una solución razonable al mismo. Esta regla ha sido en general muy fructífera y en particular les ha servido como guía a muchos matemáticos para abrirse camino en áreas desconocidas.

También les ha servido a muchos físicos para trabajar sin preocuparse demasiado por aspectos formales, ya sean analíticos, algebraicos o geométricos y poder así concentrarse en aspectos físicos y o computacionales.

Si bien esto permite un rápido desarrollo de algunas investigaciones finalmente se llega a un estancamiento, pues al proceder de este modo se evita enfrentar problemas que son muy ricos en cuanto a la conceptualización del fenómeno a describir. Es importante constatar que el problema formulado tiene una solución matemática y físicamente correcta.

Contenido:

  1. Conceptos Básicos de Topología 
    • Introducción
      • Terminología
    • ConceptosDerivados
      • Mapas continuos
      • Compacidad
  2. Álgebra Lineal 
    • Espacios Vectoriales
      • Covectores y Tensores
      • Complexificación
      • Espacios cociente
    • Normas
      • Las normas inducidas en V⋆
    • Teoría de Operadores Lineales
      • Representación Matricial
      • Subespacios Invariantes
      • Forma Canónica de Jordan
      • RelacióndeSemejanza
    • OperadoresAdjuntos
    • OperadoresUnitarios
    • Problemas
  3. Geometría 
    • Variedades
    • Funciones Diferenciables en M
    • Curvas en M
    • Vectores
    • Campos Vectoriales y Tensoriales
      • El Corchete de Lie
      • Difeomorfismos y la Teoría de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
      • Campos de Covectores y Tensores
      • LaMétrica
      • Notación de Índices Abstractos
      • Derivada Covariante
  4. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 
    • El Caso de una Única Ecuación Ordinaria de Primer Orden
      • Ecuación Autónoma de Primer Orden
      • Extendiendo la Solución Local
      • ElCasoNo-autónomo
    • Reducción a Sistemas de Primer Orden
    • Sistemas de EDO
      • IntegralesPrimeras
      • Teorema Fundamental de los Sistemas de EDO
      • Dependencia en Parámetros, Ecuación de Variaciones
    • Problemas
  5. Sistemas Lineales
    • Sistema lineal homogéneo
    • Sistema Lineal Inhomogeneo – Variación de constantes
    • Sistemas lineales homogéneos: coeficientes constantes
    • Problemas
  6. Estabilidad 
    1. Problemas
  7. Prueba del Teorema Fundamental 
    • Problemas
  8. Elementos Básicos de Análisis Funcional
    • Completando un Espacio Normado
    • *Integral de Lebesgue
    • Espacios de Hilbert
    • . Serie de Fourier.
    • Problemas
    • Problemas de Series de Fourier
  9. Distribuciones 
    • La derivada de una distribución
    • Nota sobre la completitud de D y su dual D′
    • Convergencia y Compacidad Débil
  10. La Transformación de Fourier 1
    • *Propiedades básicas de los Espacios de Sobolev
  11. Teoría de ecuaciones en derivadas parciales 
    • La ecuación de primer orden
    • El Problema de Cauchy
    • Clasificación de ecuaciones en derivadas parciales
  12. Ecuaciones Elípticas
    • LaEcuacióndeLaplace
    • Existencia
    • *Regularidad de las Soluciones
    • TeoremaEspectral
  13. Ecuaciones simétrico–hiperbólicas
    • Un ejemplo
    • Desigualdad de la energía para sistemas simétrico–hiperbólicos
    • Unicidad de las soluciones
    • Dominio de dependencia
    • Construcción de una superficie característica
    • Dominio de dependencia, ejemplos
  14. Ecuaciones Parabólicas 
    • Unicidad y el Teorema de Máximo
  15. Grupos
    • Isomorfismos
    • Subgrupos
    • Laconstrucciónuniversal
    • GruposLineales
    • El grupoSO(3).
    • Cosets
    • EspaciosHomogéneos
    • Subgrupos Normales
  16. Preguntas Teóricas de Exámen

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Autor: Oscar A. Reula
Métodos Matemáticos de la Física – 1ra Edición – Ed. U. Nacional de Córdoba (2012)