El Método de los Elementos Finitos (0)

Una forma natural de abordar los problemas técnicos por parte de ingenieros, científicos y economistas consiste habitualmente en separar los sistemas en componentes o elementos, cuyo comportamiento pueda analizarse sin dificultad, para luego reconstruir el sistema original y entenderlo desde el punto de vista de sus piezas. En muchos casos se obtiene un modelo adecuado con un número finito de partes bien definidas, que denominaremos problema discreto. En otros la subdivisión ha de llegar hasta el concepto de infinitésimo. Ello nos conduce a ecuaciones diferenciales con un número infinito de elementos en juego, lo que se denomina problema continuo.

La llegada de los ordenadores digitales ha posibilitado resolver los problemas discretos, por muchos elementos que estos tengan, pero no ha mejorado la necesidad de resolver los problemas continuos de modo exacto mediante manipulaciones matemáticas, cosa que en muchos casos no es posible salvo aplicando simplificaciones extremas.

Para vencer la dificultad que plantea resolver problemas continuos reales, los matemáticos y los ingenieros han venido proponiendo diversos métodos de discretización, que permitan aproximar la solución real de manera que la precisión crezca conforme aumenta el número de elementos a considerar. Ahora bien, matemáticos e ingenieros han abordado el asunto de dos diferentes maneras: los primeros desarrollando procedimientos aplicables de modo general a las ecuaciones diferenciales, como los métodos de diferencias finitas o de residuos ponderados, y los segundos aplicando una analogía entre elementos discretos y porciones finitas del continuo. De esta analogía directa surge el concepto de “elemento finito”.

La esencia del Método de los Elementos Finitos puede abreviarse del siguiente modo:

1. El continuo se divide mediante líneas o planos imaginarios en un determinado número de “elementos finitos”.
2. Se supone que los elementos están únicamente conectados entre sí por un número finito de puntos, denominados “nodos”, situados en su contorno. Los desplazamientos de estos nodos son las incógnitas fundamentales del problema.
3. Se toma un conjunto de funciones que describa de modo unívoco el campo de desplazamientos de todos los puntos del elemento finito en función de los desplazamientos nodales. Dichas funciones se denominan funciones de forma, de prueba o de interpolación.
4. Mediante estas funciones de desplazamiento podremos conocer el estado de deformación dentro del elemento finito, que junto con las deformaciones iniciales y las propiedades constitutivas del material permitirán conocer el estado tensional del elemento y por tanto de las fronteras del elemento.
5. Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos que equilibren al elemento y que permita describir una relación entre fuerzas y desplazamientos.

En mis próximos artículos iré desgranando básicamente el Método de los Elementos Finitos, primero aplicado al campo elástico, dado que cronológicamente fue su ambiente natal, para luego generalizarlo a otros entornos, como el de la plasticidad, mecánica no lineal, inestabilidad estructural, vibraciones y fluidos.

Continuar leyendo sobre el Método de los Elementos Finitos ► https://civilgeeks.com/?p=14122