El Método de los Elementos Finitos (0)

Una forma natural de abordar los problemas técnicos por parte de ingenieros, científicos y economistas consiste habitualmente en separar los sistemas en componentes o elementos, cuyo comportamiento pueda analizarse sin dificultad, para luego reconstruir el sistema original y entenderlo desde el punto de vista de sus piezas. En muchos casos se obtiene un modelo adecuado con un número finito de partes bien definidas, que denominaremos problema discreto. En otros la subdivisión ha de llegar hasta el concepto de infinitésimo. Ello nos conduce a ecuaciones diferenciales con un número infinito de elementos en juego, lo que se denomina problema continuo.

La llegada de los ordenadores digitales ha posibilitado resolver los problemas discretos, por muchos elementos que estos tengan, pero no ha mejorado la necesidad de resolver los problemas continuos de modo exacto mediante manipulaciones matemáticas, cosa que en muchos casos no es posible salvo aplicando simplificaciones extremas.

Para vencer la dificultad que plantea resolver problemas continuos reales, los matemáticos y los ingenieros han venido proponiendo diversos métodos de discretización, que permitan aproximar la solución real de manera que la precisión crezca conforme aumenta el número de elementos a considerar. Ahora bien, matemáticos e ingenieros han abordado el asunto de dos diferentes maneras: los primeros desarrollando procedimientos aplicables de modo general a las ecuaciones diferenciales, como los métodos de diferencias finitas o de residuos ponderados, y los segundos aplicando una analogía entre elementos discretos y porciones finitas del continuo. De esta analogía directa surge el concepto de “elemento finito”.

La esencia del Método de los Elementos Finitos puede abreviarse del siguiente modo:

  1. El continuo se divide mediante líneas o planos imaginarios en un determinado número de “elementos finitos”.
  2. Se supone que los elementos están únicamente conectados entre sí por un número finito de puntos, denominados “nodos”, situados en su contorno. Los desplazamientos de estos nodos son las incógnitas fundamentales del problema.
  3. Se toma un conjunto de funciones que describa de modo unívoco el campo de desplazamientos de todos los puntos del elemento finito en función de los desplazamientos nodales. Dichas funciones se denominan funciones de forma, de prueba o de interpolación.
  4. Mediante estas funciones de desplazamiento podremos conocer el estado de deformación dentro del elemento finito, que junto con las deformaciones iniciales y las propiedades constitutivas del material permitirán conocer el estado tensional del elemento y por tanto de las fronteras del elemento.
  5. Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos que equilibren al elemento y que permita describir una relación entre fuerzas y desplazamientos.

En mis próximos artículos iré desgranando básicamente el Método de los Elementos Finitos, primero aplicado al campo elástico, dado que cronológicamente fue su ambiente natal, para luego generalizarlo a otros entornos, como el de la plasticidad, mecánica no lineal, inestabilidad estructural, vibraciones y fluidos.

Continuar leyendo sobre el Método de los Elementos Finitos ► https://civilgeeks.com/?p=14122

Soy español, Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos por la Universidad Politécnica de Madrid, especialidad Cimientos y Estructuras. Profesor de Álgebra Lineal, Análisis Matemático, Mecánica Newtoniana, Ecuaciones Diferenciales, Elasticidad, Resistencia de Materiales, Cálculo de Estructuras y Geotecnia.

Comments (6)

  • Reply CivilGeek - 6 febrero, 2012

    Interesante post, esperamos tus próximas publicaciones!!!

    Gracias por compartir.

  • Reply Ing. Luis M. Ferrero - 6 febrero, 2012

    Gracias por la oportunidad, es interesante volver al campo docente sin mancharse la ropa con sulfato cálcico dihidratado 😉

  • Reply Ing. José Cabrera - 6 febrero, 2012

    En los anos 1940 y algo, por la necesidad de optimizar un problema que existia en una de las fabricas lideres de aviones de pasajeros se creo el MEF o FEM en Ingles. Se le atribuye a Courant la Invencion pero aunque es cierto, la bujia inspiradora del desarrollo del MEF fue un ingeniero cuyo nombre ahora no recuerdo pero que era un alto ejecutivo de la empresa aerea y lidereaba el grupo de investigaciones de esa empresa. Clough, que era un joven universitario paso uno de sus veranos ayudando con el equipo y cometio una serie de errores garrafales. Sin embargo posteriormente ha sido reconocido como uno de sus fundadores..

  • Reply gastonn - 7 febrero, 2012

    Muy interesante.
    Sería muy valioso poder ver un ejemplo de aplicación del método “paso a paso”, algun ejemplo práctico sencillo. Digo esto, porque abundan fuentes para conocer el método pero en mi caso nunca he visto un ejemplo resuelto en forma completa y clara.

    Saludos.

    • Reply Alex - 24 julio, 2014

      Estoy de acurdo con tu comentario, Gastonn y un ejemplo como el que indicas sería de gran utilidad para muchos de nosotros.
      Saludos.

  • Reply Rodrigo - 10 abril, 2014

    Muy buen aporte

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