El Método de los Elementos Finitos (1)

Para formular directamente las características de un elemento finito perteneciente a un problema continuo, vamos a estudiar un caso básico de tensión plana. Supongamos que dividimos la región a estudiar en elementos triangulares.

Mas sobre el Método de los Elementos Finitos ► https://civilgeeks.com/?p=13311

1.- Función de desplazamiento

El elemento finito típico como el cuadriculado en la figura, se define por sus nodos i, j, k y por los segmentos rectos que los unen. Debemos aproximar los desplazamientos de cualquier punto del elemento mediante un vector columna

 

 

 

En general las componentes de N son funciones de posición dadas y a es un vector formado por los desplazamientos nodales del elemento considerado. En nuestro caso:

 

 

Como función, u representa el movimiento horizontal y vertical de cualquier punto del elemento considerado.

 

 

Este último representa los correspondientes desplazamientos del nodo i. La idea consiste en conocer el desplazamiento de cualquier punto del triángulo, conocidos los desplazamientos de los vértices. En esencia esto puede hacerse mediante interpolación, y así se generan las funciones de forma N. Las características de estas funciones se describirán más adelante, pero es importante señalar que su elección es decisiva en el método de los elementos finitos.

2.- Deformaciones

Una vez conocidos los desplazamientos para todos los puntos del elemento, se pueden determinar las deformaciones mediante  las ecuaciones clásicas de la elasticidad

 

 

Donde S es un operador matricial de la forma

 

 

 

y ε como vector generalizado de deformaciones unitarias es de la forma

 

 

Sustituyendo la ecuación (1) nos queda

 

Donde B es sencilla de conocer derivando convenientemente las funciones de forma.

 3.- Tensiones

Procedentes de la ley de Hooke para el caso de tensión plana sabemos que, supuesto medio isótropo, considerando unas deformaciones iniciales debidas a cambios de temperatura, retracciones, cristalizaciones…y unas tensiones iniciales residuales (son los términos con subíndice cero):

 

 

Donde el tensor D es de la forma:

 

 

 

Y σ es el vector generalizado de tensiones, análogo en configuración al de deformaciones antes expresado

 

 

4.- Fuerzas nodales equivalentes

Son un conjunto de fuerzas y momentos aplicados en los nodos del elemento, estáticamente equivalentes a las fuerzas exteriores aplicadas sobre el citado elemento. Su determinación es sencilla y mecánica como veremos en el próximo capítulo.