Los Problemas de Cálculo Vectorial no pretende ser mas que un manual para ejercitarse en la resolución de problemas de calculo de funciones de varias variables, orientado a un primer curso de carreras científico -técnicas. Porque nuestra intención ha sido recopilar una cantidad suficiente de problemas con soluciones para, por una parte, evitar que el alumno repita innecesariamente ejercicios, y por otra, poder contrastar sus resultados con las soluciones dadas. Para facilitar su uso hemos incluimos también un buen numero de ejercicios completamente resueltos que esperamos sirvan a la vez como orientación y referencia para abordar el resto de problemas.

Los contenidos que comprenden los ejercicios que exponemos aquí corresponden a un curso típico de iniciación en el calculo de funciones de varias variables: continuidad, derivación parcial, integración múltiple, una breve iniciación a la geometría diferencial a través del estudio de curvas y superficies y los teoremas clásicos del calculo vectorial; todo ello con un enfoque definitivamente no analítico.

Sin embargo, hemos incluido también un capitulo inicial destinado a repasar aspectos de geometría del plano y del espacio, que constituyen el entorno básico a partir del cual el calculo vectorial encuentra una referencia visual siempre útil, y hemos tratado de ilustrar gráficamente buena parte de los ejercicios. Además por cuestiones técnicas y abstractas han sido dejadas de lado para centrarnos en los aspectos del calculo formal, con el fin de inculcar una adecuada y necesaria soltura operacional que sirva como base para afrontar otras asignaturas científicas o tecnológicas donde tales habilidades son bien apreciadas.

Contenido:

  • Geometría de las funciones de varias variables
    • Repaso de geometria del plano y el espacio
    • Cónicas y cuádricas
    • Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
  • Funciones de varias variables. Límite y continuidad
    • Funciones de varias variables.
    • Límites y continuidad
  • Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial
    • Derivadas parciales
    • Regla de la cadena y derivadas de orden superior.
    • Derivación implícita. Polinomio de Taylor
  • Optimización
    • Puntos críticos y extremos
    • Extremos condicionados
  • Funciones de varias variables: Integración Múltiple
    • Integrales dobles
    • Integrales triples
    • Cambios de variable
  • Geometría diferencial 
    • Curvas en el plano y el espacio
    • Longitud de arco
    • Superficies.
  • Análisis vectorial
    • Campos vectoriales. Potenciales escalares
    • Integrales de línea. Campos conservativos.
    • Teorema de Green
    • Integrales de superficie
    • Teorema de Gauss
    • Teorema de Stokes
    • Potenciales vectoriales
  • Soluciones

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Autores: Ernesto Aranda & Pablo Pedregal
Fuente | matematicas.uclm.es
Universidad de Castilla – La Mancha