La palabra álgebra proviene del termino arabe yabr que significa “reducción” y aparece por primera vez en el tratado del matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (“Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado”) y dedicado especialmente a la solución de ecuaciones (lineales y cuadráticas). Es por ello que, a lo largo de la historia, el principal objetivo del Algebra haya sido la resolución de ecuaciones. Sin embargo, en el s. XIX comienza a aparecer una temática transversal que se alimenta de problemas provenientes de la geometría, el análisis, la teoría de números y por supuesto, la teoría de ecuaciones, que desemboca en el estudio de estructuras matemáticas abstractas conformando lo que hoy en día se conoce como álgebra moderna. Este texto está dedicado esencialmente al estudio de una de tales estructuras abstractas, los espacios vectoriales, dentro de lo que se conoce como álgebra lineal, y en el que los sistemas de ecuaciones lineales juegan un papel central.

La división temática de este texto comprende los contenidos correspondientes a la asignatura de Algebra de los grados de ingeniería de la Universidad de Castilla-La Mancha, en los que el autor imparte docencia desde hace años, aunque el material que presentamos puede ser también una referencia útil en carreras científico-técnicas en las que es habitual una formación en álgebra lineal, al constituir esta una herramienta matemática básica en numerosas disciplinas. En lo que se refiere a los contenidos del texto, habría que dividir el libro en dos partes: en los tres primeros temas que tratan sobre números complejos, matrices y determinantes y sistemas de ecuaciones lineales presentamos las herramientas esenciales que conforman el soporte básico del cual se nutren el resto de temas. Aunque es probable que el lector haya tenido contacto con estos conceptos en cursos anteriores, seguramente encontrara que el tratamiento de los mismos y la notación empleada no le son tan habituales. Sin embargo hemos de resaltar la importancia que supone entender y manejar apropiadamente el lenguaje matemático. Por ello hemos incluido en un primer apéndice (apéndice A) una serie de conceptos generales en el que tratamos de familiarizar al lector con la notación y el uso de sentencias lógicas de una forma intuitiva, a la vez que introducimos unas cuantas nociones de teoría de conjuntos, funciones y estructuras algebraicas. El tratamiento en este apéndice dista mucho de ser matemáticamente riguroso y solo pretende fijar algunas ideas básicas en el lector.

Contenido:

  • Números complejos
    • El cuerpo de los números complejos
    • Representación gráfica: modulo y argumento.
    • Forma trigonométrica y forma polar
    • Potencia y raíz n-esima de un numero complejo
    • Calculo con Python
    • Una breve incursión en el mundo fractal
  • Matrices y determinantes
    • Matrices: primeras definiciones
    • Inversa de una matriz
    • Sistemas de ecuaciones lineales
    • Calculo de la inversa mediante operaciones elementales
    • Determinante de una matriz
    • Rango de una matriz
    • Aplicación de los determinantes al calculo de la inversa
    • Calculo con Python
    • Breve introducción a la Teoría de Grafos
  • Sistemas de ecuaciones lineales
    • Sistemas de ecuaciones lineales: primeras definiciones
    • Teorema de Rouche-Frobenius
    • Algebra Lineal Numérica.
    • Caculo con Python
    • Aplicación: resolución de ecuaciones diferenciales.
    • Ejercicios
  • Espacios vectoriales
    • La estructura de espacio vectorial
    • Independencia lineal
    • Bases y dimensión de un espacio vectorial
    • Cambios de base
    • Subespacios vectoriales
    • Cálculo con Python
    • Aplicación: Lights Out!, primera parte
  • Aplicaciones lineales
    • Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales
    • Matriz de una aplicación lineal.
    • Operaciones entre aplicaciones lineales
    • Cambio de base en una aplicación lineal
    • Núcleo y rango de una aplicación lineal.
    • Cálculos con Python.
    • Aplicación a la Criptografia
  • Diagonalización
    • Valores y vectores propias.
    • Polinomio característico
    • Forma canónica de Jordan
    • Cálculo con Python
    • Aplicación: osciladores acoplados.
  • Ecuaciones lineales en diferencias
    • Introducción
    • Ecuaciones y sistemas lineales de primer orden
    • Ecuaciones de orden superior
    • Cadenas de Markov
    • Aplicación: modelos biológicos
  • Espacio vectorial euclídeo
    • Producto escalar
    • Ortogonalidad.
    • Método de los mínimos cuadrados
    • Calculo con Python
    • Aplicacion: Lights Out!, segunda parte
  • Espacio afín
    • Espacio afín y espacio métrico
    • Variedades afines
    • Problemas métricos
    • Aplicaciones afines
    • Aplicación: movimientos rígidos
    • Cálculo con Python
    • Teoría de conjuntos
    • Funciones.
  • Indice general
    • Estructuras algebraicas
    • Principio de inducción
  • Introducción a Python
    • Instalación de Python
    • Aspectos básicos del lenguaje
    • Bucles y condicionales
    • Módulos
  • Soluciones a los ejercicios de repaso
    • Números complejos.
    • Matrices y determinantes
    • Sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
    • Aplicaciones lineales
    • Diagonalización
    • Ecuaciones lineales en diferencias
    • Espacio vectorial euclídeo
    • Espacio afín.
  • Indice terminológico
  • Indice de autores
  • Bibliografía

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Autor: Ernesto Aranda
Fuente | matematicas.uclm.es

“Aprender matemáticas es un proceso de aprender a hacer algo, no de adquirir conocimientos.”
J.M. Sanz-Serna
Diez lecciones de Cálculo Numérico