ESTRUCTURAS DE UN GRADO DE LIBERTAD: OSCILACIÓN ARMÓNICA, TEORÍA E HISTORIA.

Cuando analizamos en el análisis dinámico de una estructura de un grado de libertad (en el articulo anterior), su movimiento (le llamamos respuesta) en el tiempo, al final obtuvimos dos ecuaciones:

x=Acos(wt), o

                  x=Asin(wt)                        

Si tomamos cada una de estas ecuaciones y, en una hoja electrónica, a mano, con matlab o como quieran las resolvemos y graficamos obtendremos dos graficas parecidas. Supondremos que A=1.

Grafico para x=Asin(wt) con A=1.
Grafico para x=Acos(wt) para A=1

Fijense que la grafica superior empieza con la ordenada en O porque sin(O) = O  y la inferior se inicia en 1 porque cos(O) =1, dado que sus amplitudes iniciales, A=1.

Por la forma de las curvas, que van y vienen de igual forma, manteniendo la misma forma y parámetros en el tiempo se les conoce como oscilaciones armónicas, las cuales son ondas periodicas, se repiten a traves del tiempo. Todas las graficas de las ecuaciones como las anteriores explicadas a través de senos y cosenos son llamadas armónicas.

Si tomamos un resorte y logramos que baje y suba en el tiempo y, a la vez, ponemos un lápiz en el extremo del resorte y hacemos corre el papel horiontalmente, definirá la gráfica anterior que dibujamos con los resultados que, en mi caso hice con Excel. En la oscilación hay un equilibrio energético donde podemos sumar energía potencial y cinética y siempre se cumplirá el Principio de la Conservación de la Energía. El cuerpo, resorte, péndulo, cuerda, columpio, se mueve alrededor de su posición de equilibrio,. que es la linea recta inferior.  

Cada posicion refleja la suma de energia potencial y cinetica. Hay lugares, como los mas altos y bajos donde la energia potencial es toda la energia ya que al devolverse el resorte no hay movimiento, pero si maximos de posicion. Hay otros lugares, la posicion de equilibrio, donde la energia cinetica es maxima y la potencial es cero.

Quien primero planteo dicha situación fue Galileo. Estaba en misa, en la catedral de Pisa sentado atrás, distraído, observando como dos arañas se balanceaban en unas lámparas y le llamo la atención que el viento (Era Invierno) hacia oscilar algunas lámparas en un vaivén más largo que en otras.

“Claro, las que están más cerca de la puerta reciben el viento con más fuerza y se balancean más”, pensó Galileo. Pero no, estaba confundido porque percibía que aunque el vaivén fuera más o menos corto, todas las hacían en el mismo tiempo. “No debiera ser así ya que la más larga debería durar más tiempo en el vaivén”. Decidió probarlo, pero no estaba en el siglo XXI. El reloj que se disponía era un reloj de Sol en la Plaza del Ayuntamiento y no servía para medir tiempos pequeños. Tampoco se disponía de un reloj de arena, así que, como toda persona que no se deja amilanar se le ocurrió la mejor idea para la y época: Usar sus latidos del corazón para aproximar el tiempo.

Conto la primera: “6 latidos”. Otra vez: “8 latidos”,….”7 latidos”, nunca obtenía el mismo resultado. “Lo que hice es contar diez veces y dividir por 10”. Pudo comprobar que aunque las masas fueran diferentes el tiempo de oscilación (Periodo) era  el mismo (Probo con masas de madera y otras de oro). Había descubierto que Aristóteles estaba equivocado.

Luego probó con cuerdas colgantes de diferentes longitudes y ahí comprobó el dominio del tiempo: Las más larga obtenían mayores periodos de oscilación que las más cortas. Descubrió que el periodo de oscilación, T es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud de la cuerda de la lámpara o péndulo. Con este descubrimiento se posibilito la fabricación de los engranajes del reloj mecánico.

En el primer artículo planteamos que w = Raíz(K/M) en el caso de la masa sujeta al resorte. En el péndulo w = Raiz(g/l) donde g es la aceleración de la gravedad y l el largo del péndulo. Si analizamos ambas fórmulas veremos que aunque se ven diferentes son similares ya que F = M.a que en este caso a = g  y M = F/g. Si lo introducimos en la fórmula de la masa con resorte:

w = Raíz (K/M) = Raíz (K.g/F) y como F = K.x,  w = Raíz (g/x) que es similar.

Esta frecuencia es llamada frecuencia circular, porque esta referida a un circulo. Para convertir a Periodos de tiempo o frecuencia, hay que tomar en cuenta que el circulo tiene 2.pi :

f = w/2.pi = (1/2.pi).Raiz(K/M)

 El periodo es el inverso de la frecuencia: T = 2.pi.Raiz(M/K)

En la grafica final presentamos como se origina la respuesta x,v y a las cuales son ortogonales entre si. Fijense que la aceleracion se opone al desplazamiento ya que llevan direcciones contrarias.

Cosa curiosa: Galileo era amigo del Papa del momento, desde ante,s cuando era arzobispo, pero a pesar de ello fue condenado por

la Iglesia, que aunque no fue  finalmente condenado a muerte, tuvo que retractarse a peticion de sus amigos de la Iglesia y sufrir prision domiciliaria hasta su muerte. Esa prision le causo mucho sufrimiento. A pesar de ello murio de 78 anos.

Más adelante veremos como todo en la vida y el Universo puede ser explicado a través de las frecuencias y los periodos. Un caso es la música, otro es el cuerpo humano (Cada órgano tiene su frecuencia natural), los colores: El Universo es un fenómeno vibratorio. 

Ingeniero Civil con Master en Tecnología y Organización de la Construcción, Master en Control de la Calidad de la Producción Industrial y Master en Ingeniería Estructural Sismo-Resistente. República Dominicana

Comments (7)

  • Reply CivilGeek - 23 agosto, 2011

    Elegante articulo… Galileo estaba en todas!

  • Reply Yuri Villavicencio-Fdez - 23 agosto, 2011

    Oh sí!

  • Reply Marvin R - 23 agosto, 2011

    Muy bueno, les va a interesar a los estudiante de Fisica 1 y a los de Fisica 3.

  • Reply JAVIER AMEZCUA MEXICO - 23 agosto, 2011

    muy buenos inge ,ojala cada vez nos simplifique mas la informacion asi entendemos mas y poco a poco ir aprendiendo de usted

  • Reply Ing. José Cabrera - 24 agosto, 2011

    Estos son temas, que aunque pertenecen a la fisica, son la base de donde parte toda la Ciencia de la Dinamica Estructural y en consecuencia, La Ingenieria Sismorresistente.

    • Reply Marvin R - 24 agosto, 2011

      Tiene la razón, Ing. Cabrera, a lo que me hize la referencia a la Fisica, debido a que nosotros nos iniciamos en el mundo de las ondas con Fisica 1 y Fisica 3 se trata exclusivamente los temas referentes a ondas. Su aplicaciòn si pertenece a la “Ciencia de la Dinamica Estructural y en consecuencia, La Ingenieria Sismorresistente” como uste correctamente enfatiza. Pero me recordo cuando lleve Física y estudie lo que usted nos aporto en este Post. Pido perdon por cualquier mal entendido.

  • Reply Ing. José Cabrera - 24 agosto, 2011

    No tienes que excusarte. Es una opinion, y hay que respetarla. Yo solo exprese una opinion…

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked*

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

Esta web utiliza cookies propias y de terceros para su correcto funcionamiento y para fines analíticos y para mostrarte publicidad relacionada con sus preferencias en base a un perfil elaborado a partir de tus hábitos de navegación. Al hacer clic en el botón Aceptar, acepta el uso de estas tecnologías y el procesamiento de tus datos para estos propósitos. Ver Política de cookies
Privacidad