El álgebra lineal se caracteriza por estudiar estructuras matemáticas en las que es posible tomar “sumas” entre distintos elementos de cierto conjunto y “multiplicar” tales elementos por números reales o complejos. Tales conjuntos se conocerán como espacios vectoriales y sus elementos serán llamados vectores. El primer uso que se le dará durante el curso a las técnicas del álgebra lineal va a ser para encontrar la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Tales problemas tienen gran importancia para aplicaciones como hallar las corrientes en circuitos eléctricos o hacer códigos en informática.
Al ir resolviendo este tipo de problemas, una de los propiedades más ventajosas del álgebra lineal irá apareciendo. Esto motivará estudiar las matrices como fines en sí mismos y realizar operaciones algebraicas (como suma y producto de matrices) entre ellas.
Contenido:
- Sistemas de Ecuaciones Lineales
- Sistemas de Ecuaciones Lineales y su Interpretación Geométrica
- Representación Matricial de un Sistema n × m
- Operaciones Elementales
- Matriz Escalonada y Matriz Escalonada Reducida
- Método de Gauss-Jordan
- Rango de una Matriz y Tipos de Sistemas de Ecuaciones Lineales
- Tipos de sistemas de ecuaciones lineales
- Teoría Elemental de Matrices
- Operaciones entre Matrices
- Tipos de Matrices
- Matrices Invertibles y Matrices Elementales
- El Determinante de una Matriz Cuadrada
- 3.1. Determinante de una matriz 2 × 2
- Determinante de una matriz 3 × 3
- Determinante de una matriz n × n
- Propiedades de los Determinantes
- El Determinante de una Matriz y su Inversa
- Regla de Cramer
- Otros ejemplos
- Vectores e Independencia Lineal
- Problemas Adicionales
- Geometría Vectorial en Rn
- Representación Geométrica de Vectores
- Operaciones Algebraicas entre Vectores
- Interpretación Geométrica de la Combinación Lineal de Vectores
- Producto Escalar de Vectores
- El Producto Cruz en R3
- Problemas Resueltos
- Rectas y Planos en Rn
- Ecuaciones de rectas
- Planos en Rn
- Fórmulas de Distancia
- Espacios Vectoriales
- Definición y algunos ejemplos
- Subespacios Vectoriales
- Combinaciones Lineales e Independencia Lineal
- Subespacios Asociados a una Matriz
- Ortogonalidad y Proyecciones en Rn
- Bases Ortonormales
- Subespacios Ortogonales
- Complemento Ortogonal de un Subespacio
- Subespacios Ortogonales de una Matriz
- Proyección Ortogonal sobre un Subespacio
- Ortonormalización de Gram-Schmidt
- Problemas Adicionales
- Teoría de Transformaciones Lineales
- Definición y Características de una Transformación Lineal
- Representación de una Transformación Lineal por una Matriz
- Composición de Transformaciones Lineales
- Inyectividad y Sobreyectividad
- Teoremas de Dimensionalidad
- Invertibilidad de una Transformación Lineal
- Problemas Adicionales
- Vectores y Valores Propios
- Motivación geométrica y definición
- Cálculo de Vectores Propios
- Diagonalización de Matrices
- Diagonalización de Transformaciones Lineales
- Curvas y Superficies Cuadráticas
- Formas Cuadráticas
- Curvas y Superficies Cuadráticas
- Algunas Transformaciones Lineales .
- Ejes Principales y Ángulo de Rotación
- Ejercicios Adicionales
- Resumen de Resultados Importantes
- Sistemas de Ecuaciones Lineales
- Teoría Elemental de Matrices
- El Determinante de una Matriz Cuadrada
- Geometría Vectorial en Rn
- Rectas y Planos en Rn
- Espacios Vectoriales
- Ortogonalidad y Proyecciones en Rn
- Teoría de Transformaciones Lineales
- Vectores y Valores Propios
- Curvas y Superficies Cuadráticas
- Aplicaciones
- Análisis Dimensional y Circuitos Eléctricos
- Teoría de Gráficas
- Análisis Matricial y Vectorial
- Números Complejos y Cuaterniones de Hamilton
- Curvas de Mejor Ajuste
- Exponencial de una Matriz y Ecuaciones Diferenciales
- Rotaciones en el Espacio
- Problemas Adicionales
Autor: Mariano Echeverría
