Como llega el fin de semana y ya hay algo de tiempo para pensar, hoy les propongo un ejercicio de cinemática.
Supongamos que desde cota cero lanzamos una partícula verticalmente hacia arriba con una velocidad «V0» (una velocidad tal que el movimiento subsiguiente se encuentre en el rango que permite considerar la aceleración de la gravedad «g» constante). La partícula sube, baja y rebota contra el suelo de tal modo que en cada impacto pierde LA MITAD de la energía cinética que traía.
Y aquí llega la pregunta: ¿ Cuánto tiempo tardará en parar?
Comments (28)
erik - 10 febrero, 2012
hola mmm no diria que domino muxo la cinematica x k me falta muxo pero el punto es que si consideramos como velocidad inicial 0 el tiempo que se demora en para la esfera podria ser «indefinido como tmb podria ser una milesioma de segundo» creo lo chekeo y tratare de entenderlo mejor si esta mal
Luis M Ferrero - 11 febrero, 2012
La velocidad inicial es diferente de cero, la he llamado Vo, pero no he dicho que Vo sea cero. :))
jorge - 10 febrero, 2012
no exite rebote…porq no hubo desplazamiento al no haber velocidad
Ing. Luis M. Ferrero - 11 febrero, 2012
Igual que la respuesta anterior
Marvin R - 11 febrero, 2012
En realidad el revote nunca termina, ya que si en cada revote esta partícula pierde el 50% de la energía con la que cae, siempre existirá energía, por muy mínima que se, la cual podrá seguir siendo dividida o disminuida infinitamente. Se lo colocamos en un gráfico, en donde f(t) se el desplazamiento debido a cada revote, respecto un tiempo «t», podremos observar que la f(t) tienen un comportamiento asintótico con respecto a f(t)=0; esto conforme t continua hacia el infinito. Por lo que nunca terminara el revote. Pero para nosotros podríamos decir al utilizar limites, que revote dado por f(t) es 0 cuanto “t” se convierte en un numero muy grande o bien tiende al infinito. O de forma más sencilla, que el tiempo en el cual el revote será 0 cuando este sea tan mínimo que ya no lo podemos percibir o que ya no afecta nuestros cálculos o por ultimo que este ya entre entra al rango de incerteza de nuestra medida.
Ing. Luis M. Ferrero - 11 febrero, 2012
Cierto que el número de rebotes es infinito, respecto del resto no veo claro que demuestres que t tiende a infinito. Pero si piensas un poco más te darás cuenta…
CivilGeek - 11 febrero, 2012
Ese tiempo que demora en parar es: 4Vo/g
Ing. Luis M. Ferrero - 11 febrero, 2012
Ese tiempo que dices es el de la primera subida y bajada. Pero después toca el suelo, pierde un 50% de su energía, vuelve a subir, vuelve a bajar, toca suelo…etc
CivilGeek - 11 febrero, 2012
He vuelto a revisar, para ver si me he equivocado… el resultado es el mismo.
El tiempo que demora en el primer lanzamiento es 2Vo/g y luego vuelve subir con la mitad de la energía cinética, el tiempo de demora en detenerse después del primer lanzamiento es 2Vo/g. Al final tiempo total que demora para detenerse es 4Vo/g.
Ing. Luis M. Ferrero - 11 febrero, 2012
Si en el rebote pierde la mitad de la energía cinética, aplicando conservación de la energía en el ascenso, su potencial se reduce a la mitad, es decir que sube la mitad de la altura anterior en cada nuevo trayecto. Si la altura del primer «viaje» es H, la del segundo H/2, la del tercero H/4, la del cuarto H/8…
JESUS MELENDEZ - 11 febrero, 2012
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Ing. Luis M. Ferrero - 11 febrero, 2012
Te has equivocado de problema, por favor inténtalo de nuevo 😀
Yuri Villavicencio-Fdez - 11 febrero, 2012
El planteamiento mismo del problema lo dice, si se consideran las cantidades continuas, el rebote será infinito, aunque tendiendo a cero…es una de las famosas paradojas de Zenón, en versión movimiento amortiguado.
Ing. Luis M. Ferrero - 11 febrero, 2012
Siiii, básicamente Aquiles y la tortuga pero con un único personaje
davidr - 11 febrero, 2012
la ilogica fisica jeje… este problema no pasa en la realidad verdad?? una pelota que nunca deja de rebotar?? o un vaso que se llena a la mitad, y se vuelve a llenar la mitad de la mitad, sucesivamente… nunca se llenara??? … o quiza, despues de todo la pelota nunca se mantiene estática, la materia esta en constante movimiento, como la pelota es un cuerpo adimensional, puntual, entonces estamos analisando una particula de la pelota, dicha particula nunca se mantendra estatica, por su puesto que tampoco pierde energia cinetica infinitamente, debe llegar a un punto donde se mantenga constante, pero ….. YAAAAAAA BASTA !!!! como dije ILOGICA FISICA!!!
Ing. Luis M. Ferrero - 12 febrero, 2012
Luego postearé la resolución pero no es cierto eso que dices: la pelota rebota infinitas veces en un tiempo finito, osea que si, si deja de rebotar. 😀
Ing Claudio Pierdominici - 12 febrero, 2012
Un aporte
el prblema de Aquiles y el de la bolita que rebota no son similares, solo lo son en apariencia.
En elproblema de la bolita la velocidad, el tiempo , la altura, e cada ciclo disminuye, y la suma de cada intervalo, o su integral, tiende a un numer finito.
en el problema de la persecucion del griego a su tortuga lo unico qu e hacemos es dividir e tiempo infinitamnte, sin disminuir nada, solo en la forma que estudiamos el problema, complicandonos e divir el tiempo de encuentro infinitas veces, en vez de plantear nn sistema de dos ecuaciones muy simples.
Yuri Villavicencio-Fdez - 12 febrero, 2012
No son iguales desde el punto de vista físico, son iguales desde el punto de vista matemático. Ya sabemos que igual Aquiles le va a pasar a la tortuga, y que la pelota se va a detener, ya que en la realidad el tiempo y el espacio son variables cuánticas (discretas) y no contínuas.
Carlos R. Figueroa - 12 febrero, 2012
En base a que pierde la pelota la MITAD de su Energía Cinética. Cual es la ecuación que soporta ese postulado?.
En todo caso caso tengo entendido que la Energía NO se pierde sino que se transforma.
Pero en condiciones fuera de la atmósfera (sin presencia de aire o en el vacío por ejemplo) pero de alguna forma manteniendo el efecto gravitatorio, la tendencia es que la pelota rebote tendiendo al infinito manteniendo la misma altura inicial. Y solo posiblemente merme un tanto en esa altura por la disipación o intercambio de energía con el cuerpo o masa en donde choca.
Yuri Villavicencio-Fdez - 12 febrero, 2012
Se pierde como impacto,en una colisión semielástica, como lo dice el enunciado. Cuando te pegan conuna regla en la mano ¿qué sientes? no es dolor, como decía mi profesor de física, te arde…es la energía cinética que se transforma en calor, que pueden sentir las terminaciones nerviosas de la piel…Pues aquí es igual, al no especificarse los materiales de que están hechos tanto la pelota como el piso en el que rebota, es perfectamente posible que se den esas condiciones.
Un saludo
hugo Molina - 8 agosto, 2013
interesante, es como preguntarle lo siguiente… ¿por qué si entre segundo y segundo hay infinitas unidades de tiempo, por que es claro ver transcurrir horas?
Andres - 27 julio, 2014
Hace rato no hago un ejercicio de estos pero es simple toca aplicar las formulas de conservacion de la energia y combinarla con una serie con t tendiendo a infinito y saber donde converge para dar la respuesta. Me da pereza ponerme a recordar para resolver esto :p.
Alan Arias - 27 julio, 2014
Soy estudiante de Ingenieria, No se si estara bien pero lo plantee de la siguiente manera
1/2Ec= 1/2*(1/2*m*v2) , si la V=h/t =>
1/2 Ec=1/4 m *( h/t)2
2Ec/m=(h/t) 2
Raiz ( 2Ec/m) = h/t
t = h/(Raiz (2Ec /m ))
Carlos Ignacio González Lozano - 28 julio, 2014
[4/(2-Rcuad(2))]*V0/a
Marcelo - 28 julio, 2014
El tiempo que tarda en subir y volver al suelo es: t=2*V0/g.
Si pierde la mitad de la energía cinética, significa la la velocidad después del primer rebote sera V1=V0/raiz(2)
El tiempo que tardara en dar n rebotes sera
T=2*V0/g *suma_n(1/(raiz(2))^n)
Si da infinitos rebotes n tiende a infinito pero la suma con n tendiendo a infinito de 1/(raiz(2))^n converge al valor 2/(2-raiz(2)), por lo tanto sera un tiempo finito y su valor sera: T=4*V0*g/(2-raiz(2))
Con n=40 ya se tiene una muy buena aproximación de n infinito
😛
Luis Armando - 16 junio, 2015
Nunca pararía, ya que una serie infinita dentro de un tiempo finito es imposible.
RIAC4N - 17 junio, 2015
Saludos.
Pues bien, yo hice el calculo tomando to=0, como el primer instante en que la partícula llega a V=0, desde que es lanzada. Entonces obtuve la siguiente ecuación,
t=(2+2^0.5)*(2*E/m)^0.5.
Siendo:
t: el tiempo en que la partícula llega al reposo.
E: energía potencial en t=0.
m=la masa de la partícula.
En efecto, la partícula llega al reposo en un determinado momento, matemáticamente al plantear las ecuaciones nos encontramos con una serie geométrica la cual al ser sumada de n=0 a n=inf el resultado da 2+2^0.5.
Cualquier observación o corrección estaré pendiente de los comentarios.
¡Paz Hermanos!
RIAC4N - 17 junio, 2015
Corrección, en la expresión anterior solo tome los tiempos de bajada y no tome los tiempos hacia arriba (rebote),
La ecuación queda de la siguiente manera:
t=(3+2*2^0.5)*(2*E/m)^0.5.