Acerca de lo finito y lo infinito

Como llega el fin de semana y ya hay algo de tiempo para pensar, hoy les propongo un ejercicio de cinemática.

Supongamos que desde cota cero lanzamos una partícula verticalmente hacia arriba con una velocidad “V0” (una velocidad tal que el movimiento subsiguiente se encuentre en el rango que permite considerar la aceleración de la gravedad “g” constante). La partícula sube, baja y rebota contra el suelo de tal modo que en cada impacto pierde LA MITAD de la energía cinética que traía.

Acerca de lo finito y lo infinito

Y aquí llega la pregunta: ¿ Cuánto tiempo tardará en parar?

Soy español, Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos por la Universidad Politécnica de Madrid, especialidad Cimientos y Estructuras. Profesor de Álgebra Lineal, Análisis Matemático, Mecánica Newtoniana, Ecuaciones Diferenciales, Elasticidad, Resistencia de Materiales, Cálculo de Estructuras y Geotecnia.

Comments (28)

  • Reply erik - 10 febrero, 2012

    hola mmm no diria que domino muxo la cinematica x k me falta muxo pero el punto es que si consideramos como velocidad inicial 0 el tiempo que se demora en para la esfera podria ser “indefinido como tmb podria ser una milesioma de segundo” creo lo chekeo y tratare de entenderlo mejor si esta mal

    • Reply Luis M Ferrero - 11 febrero, 2012

      La velocidad inicial es diferente de cero, la he llamado Vo, pero no he dicho que Vo sea cero. :))

  • Reply jorge - 10 febrero, 2012

    no exite rebote…porq no hubo desplazamiento al no haber velocidad

    • Reply Ing. Luis M. Ferrero - 11 febrero, 2012

      Igual que la respuesta anterior

  • Reply Marvin R - 11 febrero, 2012

    En realidad el revote nunca termina, ya que si en cada revote esta partícula pierde el 50% de la energía con la que cae, siempre existirá energía, por muy mínima que se, la cual podrá seguir siendo dividida o disminuida infinitamente. Se lo colocamos en un gráfico, en donde f(t) se el desplazamiento debido a cada revote, respecto un tiempo “t”, podremos observar que la f(t) tienen un comportamiento asintótico con respecto a f(t)=0; esto conforme t continua hacia el infinito. Por lo que nunca terminara el revote. Pero para nosotros podríamos decir al utilizar limites, que revote dado por f(t) es 0 cuanto “t” se convierte en un numero muy grande o bien tiende al infinito. O de forma más sencilla, que el tiempo en el cual el revote será 0 cuando este sea tan mínimo que ya no lo podemos percibir o que ya no afecta nuestros cálculos o por ultimo que este ya entre entra al rango de incerteza de nuestra medida.

    • Reply Ing. Luis M. Ferrero - 11 febrero, 2012

      Cierto que el número de rebotes es infinito, respecto del resto no veo claro que demuestres que t tiende a infinito. Pero si piensas un poco más te darás cuenta…

  • Reply CivilGeek - 11 febrero, 2012

    Ese tiempo que demora en parar es: 4Vo/g

    • Reply Ing. Luis M. Ferrero - 11 febrero, 2012

      Ese tiempo que dices es el de la primera subida y bajada. Pero después toca el suelo, pierde un 50% de su energía, vuelve a subir, vuelve a bajar, toca suelo…etc

      • Reply CivilGeek - 11 febrero, 2012

        He vuelto a revisar, para ver si me he equivocado… el resultado es el mismo.

        El tiempo que demora en el primer lanzamiento es 2Vo/g y luego vuelve subir con la mitad de la energía cinética, el tiempo de demora en detenerse después del primer lanzamiento es 2Vo/g. Al final tiempo total que demora para detenerse es 4Vo/g.

        • Reply Ing. Luis M. Ferrero - 11 febrero, 2012

          Si en el rebote pierde la mitad de la energía cinética, aplicando conservación de la energía en el ascenso, su potencial se reduce a la mitad, es decir que sube la mitad de la altura anterior en cada nuevo trayecto. Si la altura del primer “viaje” es H, la del segundo H/2, la del tercero H/4, la del cuarto H/8…

  • Reply JESUS MELENDEZ - 11 febrero, 2012

    ESTA BIEN MUY INTERESANTE LOS TEMAS, PERO, PERO, PERO; HACENNNNNN PERDERRRRR MUCHO TIEMPO A NOSOTROS LOS INTERESADOS QUE TRAFICAMOS POR LA RED, CONSEGUIMOS EL TEMA, TRATAMOS DE ABRIR LA PAGINA, ESTA NO ABRE. TIENEN UN ESFUERZO DE PUBLICIDAD EQUIVOCADO; COLOQUEN DE TAL FORMA, UTILIZANDO LA ERGONOMIA, PARA QUE CONSIGAMOS EN FORMA CLARA Y PRECISA, SI LA VAINA ES GRATIS O PAGANDO; SI ES PAGANDO DIGAN DE UNA BUENA VEZ CUANTO ES Y YA.

    • Reply Ing. Luis M. Ferrero - 11 febrero, 2012

      Te has equivocado de problema, por favor inténtalo de nuevo 😀

  • Reply Yuri Villavicencio-Fdez - 11 febrero, 2012

    El planteamiento mismo del problema lo dice, si se consideran las cantidades continuas, el rebote será infinito, aunque tendiendo a cero…es una de las famosas paradojas de Zenón, en versión movimiento amortiguado.

    • Reply Ing. Luis M. Ferrero - 11 febrero, 2012

      Siiii, básicamente Aquiles y la tortuga pero con un único personaje

  • Reply davidr - 11 febrero, 2012

    la ilogica fisica jeje… este problema no pasa en la realidad verdad?? una pelota que nunca deja de rebotar?? o un vaso que se llena a la mitad, y se vuelve a llenar la mitad de la mitad, sucesivamente… nunca se llenara??? … o quiza, despues de todo la pelota nunca se mantiene estática, la materia esta en constante movimiento, como la pelota es un cuerpo adimensional, puntual, entonces estamos analisando una particula de la pelota, dicha particula nunca se mantendra estatica, por su puesto que tampoco pierde energia cinetica infinitamente, debe llegar a un punto donde se mantenga constante, pero ….. YAAAAAAA BASTA !!!! como dije ILOGICA FISICA!!!

    • Reply Ing. Luis M. Ferrero - 12 febrero, 2012

      Luego postearé la resolución pero no es cierto eso que dices: la pelota rebota infinitas veces en un tiempo finito, osea que si, si deja de rebotar. 😀

  • Reply Ing Claudio Pierdominici - 12 febrero, 2012

    Un aporte
    el prblema de Aquiles y el de la bolita que rebota no son similares, solo lo son en apariencia.
    En elproblema de la bolita la velocidad, el tiempo , la altura, e cada ciclo disminuye, y la suma de cada intervalo, o su integral, tiende a un numer finito.

    en el problema de la persecucion del griego a su tortuga lo unico qu e hacemos es dividir e tiempo infinitamnte, sin disminuir nada, solo en la forma que estudiamos el problema, complicandonos e divir el tiempo de encuentro infinitas veces, en vez de plantear nn sistema de dos ecuaciones muy simples.

    • Reply Yuri Villavicencio-Fdez - 12 febrero, 2012

      No son iguales desde el punto de vista físico, son iguales desde el punto de vista matemático. Ya sabemos que igual Aquiles le va a pasar a la tortuga, y que la pelota se va a detener, ya que en la realidad el tiempo y el espacio son variables cuánticas (discretas) y no contínuas.

  • Reply Carlos R. Figueroa - 12 febrero, 2012

    En base a que pierde la pelota la MITAD de su Energía Cinética. Cual es la ecuación que soporta ese postulado?.
    En todo caso caso tengo entendido que la Energía NO se pierde sino que se transforma.
    Pero en condiciones fuera de la atmósfera (sin presencia de aire o en el vacío por ejemplo) pero de alguna forma manteniendo el efecto gravitatorio, la tendencia es que la pelota rebote tendiendo al infinito manteniendo la misma altura inicial. Y solo posiblemente merme un tanto en esa altura por la disipación o intercambio de energía con el cuerpo o masa en donde choca.

    • Reply Yuri Villavicencio-Fdez - 12 febrero, 2012

      Se pierde como impacto,en una colisión semielástica, como lo dice el enunciado. Cuando te pegan conuna regla en la mano ¿qué sientes? no es dolor, como decía mi profesor de física, te arde…es la energía cinética que se transforma en calor, que pueden sentir las terminaciones nerviosas de la piel…Pues aquí es igual, al no especificarse los materiales de que están hechos tanto la pelota como el piso en el que rebota, es perfectamente posible que se den esas condiciones.
      Un saludo

  • Reply hugo Molina - 8 agosto, 2013

    interesante, es como preguntarle lo siguiente… ¿por qué si entre segundo y segundo hay infinitas unidades de tiempo, por que es claro ver transcurrir horas?

  • Reply Andres - 27 julio, 2014

    Hace rato no hago un ejercicio de estos pero es simple toca aplicar las formulas de conservacion de la energia y combinarla con una serie con t tendiendo a infinito y saber donde converge para dar la respuesta. Me da pereza ponerme a recordar para resolver esto :p.

  • Reply Alan Arias - 27 julio, 2014

    Soy estudiante de Ingenieria, No se si estara bien pero lo plantee de la siguiente manera

    1/2Ec= 1/2*(1/2*m*v2) , si la V=h/t =>
    1/2 Ec=1/4 m *( h/t)2
    2Ec/m=(h/t) 2
    Raiz ( 2Ec/m) = h/t
    t = h/(Raiz (2Ec /m ))

  • Reply Carlos Ignacio González Lozano - 28 julio, 2014

    [4/(2-Rcuad(2))]*V0/a

  • Reply Marcelo - 28 julio, 2014

    El tiempo que tarda en subir y volver al suelo es: t=2*V0/g.
    Si pierde la mitad de la energía cinética, significa la la velocidad después del primer rebote sera V1=V0/raiz(2)
    El tiempo que tardara en dar n rebotes sera
    T=2*V0/g *suma_n(1/(raiz(2))^n)
    Si da infinitos rebotes n tiende a infinito pero la suma con n tendiendo a infinito de 1/(raiz(2))^n converge al valor 2/(2-raiz(2)), por lo tanto sera un tiempo finito y su valor sera: T=4*V0*g/(2-raiz(2))
    Con n=40 ya se tiene una muy buena aproximación de n infinito
    😛

  • Reply Luis Armando - 16 junio, 2015

    Nunca pararía, ya que una serie infinita dentro de un tiempo finito es imposible.

  • Reply RIAC4N - 17 junio, 2015

    Saludos.
    Pues bien, yo hice el calculo tomando to=0, como el primer instante en que la partícula llega a V=0, desde que es lanzada. Entonces obtuve la siguiente ecuación,
    t=(2+2^0.5)*(2*E/m)^0.5.
    Siendo:
    t: el tiempo en que la partícula llega al reposo.
    E: energía potencial en t=0.
    m=la masa de la partícula.
    En efecto, la partícula llega al reposo en un determinado momento, matemáticamente al plantear las ecuaciones nos encontramos con una serie geométrica la cual al ser sumada de n=0 a n=inf el resultado da 2+2^0.5.
    Cualquier observación o corrección estaré pendiente de los comentarios.
    ¡Paz Hermanos!

  • Reply RIAC4N - 17 junio, 2015

    Corrección, en la expresión anterior solo tome los tiempos de bajada y no tome los tiempos hacia arriba (rebote),
    La ecuación queda de la siguiente manera:
    t=(3+2*2^0.5)*(2*E/m)^0.5.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked*

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

Esta web utiliza cookies propias y de terceros para su correcto funcionamiento y para fines analíticos y para mostrarte publicidad relacionada con sus preferencias en base a un perfil elaborado a partir de tus hábitos de navegación. Al hacer clic en el botón Aceptar, acepta el uso de estas tecnologías y el procesamiento de tus datos para estos propósitos. Ver Política de cookies
Privacidad