Hoy les propongo un viejo problema de examen de ingeniería. Dice así:
Disponemos de una columna lisa de radio r y de una cuerda delgada de longitud k. Con un nudo corredizo rodeamos la columa y en el extremo libre atamos un perro. En cierto momento el can ve acercarse a su amo y corre hacia él.¿A qué distancia de la columna queda el nudo cuando la cuerda se rompe?
Se puede resolver mediante optimización pensando que la cuerda se rompe cuando el perro se halla a la máxima distancia de la columna (método típico de matemático), pero existe un procedimiento absolutamente mental, sin siquiera lápiz (propio de ingeniero). ¿Cuál es?
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Comments (34)
Ing. José Cabrera - 6 febrero, 2012
Cuando la cuerda se rompe el nudo estara pegado a la columna ya que usted ha dicho que el nudo corredizo rodeara la columna. El nudo estara apretando la columna en el momento de romperse la cuerda.
Saludos…
Ing. Luis M. Ferrero - 7 febrero, 2012
No, haga la prueba. Para pegar el nudo a la columna hay que empujar físicamente el nudo hacia ella. Si sólo tiramos de la cuerda se detiene antes, Si planteamos la suma de fuerzas sobre el nudo en la posición de contacto tendremos dos tensiones opuestas tangentes a la columa y la tercera en dirección radial: la resultante radial saca el nudo de esa posición.
Alejandro - 2 abril, 2014
longuitud =k-2*Pi*r
Artemio - 6 febrero, 2012
buuuu, la verdad me ofendio. Soy matematico y lo resolvi en 15 segundos, tal cual menciona en Ing. Jose Cabrera
Ing. Luis M. Ferrero - 7 febrero, 2012
Si eres matemático deberías estudiar el problema de máximos y mínimos que cito en el enunciado para hallar la verdadera solución.
Ing. José Cabrera - 6 febrero, 2012
Mas bien Ingeniero deriva de Ingenio.
Ing. Luis M. Ferrero - 7 febrero, 2012
Jejej cierto, ingeniero deriva de ingenio, pero debería ser al revés.
Ing. José Cabrera - 7 febrero, 2012
En realidad se que no estara pegado porque una parte saldra en direccion de donde lo halan y creara un espacio vacio, pero a lo que me refiero es que estara cercana a la columna en ese lugar.
gastonn - 7 febrero, 2012
Hola!
Hago mi aporte.
Tengo 2 hipótesis.
1) Ambos tramos luego del nudo quedan tangentes a la columna (r grande): x = r [ 1 / (tg 45) – 1 ]
2) La cuerda queda tangente a la columna (r pequeño): x = 2r / (tg 45)
Saludos.
gastonn - 7 febrero, 2012
-Acabo de darme cuenta que si tg 45=1 en el primer caso es CERO… ¿mmm?
-En el segundo caso es el doble del radio, cuando los radios son pequeños es el modelo que mas se aproxima a la realidad, ademas cuando la fricción de la cuerda es mínima.
Conclusión: Debido a los resultados, considero que no es el modo correcto de resolverlo, el problema oculta algo que aún no descubro.
Saludos!!
Ing. Luis M. Ferrero - 7 febrero, 2012
Hipótesis que has de tener en cuenta:
1.- La columna es lisa, es decir sin rozamiento
2.- El hilo es ideal, es decir unidimensional, sin masa, ni rozamiento e infinitamente flexible.
3.- El nudo no consume longitud de hilo
Franz - 7 febrero, 2012
Jajaja muy bueno, pero piesno que la cuerda se lo lleva el perro arrastrandolo hacia su amo, eso pienso yo :D.
CivilGeek - 7 febrero, 2012
Creo que es necesario lápiz y papel, ya que usaremos derivadas.
Ing. Luis M. Ferrero - 7 febrero, 2012
Jeje eso para los matemáticos, que necesitan las derivadas hasta para respirar. Para nosostros no hay necesidad, basta pensar. En cualquier caso mas tarde puedo postear la solución mediante optimización, pero francamente es aburrida y larga, en comparación con la solución ingeniosa.
CivilGeek - 7 febrero, 2012
Espero su post… seguro que será interesante la solución!!!
Pirela - 7 febrero, 2012
La máxima distancia=k-2*pi*r+r (al centro de la columna). La mínima distancia=squar((k-pi*r)^2 / 4 – r^2) (al centro de la columna).
Ing. Luis M. Ferrero - 7 febrero, 2012
Nono, creo que no has creado bien la función de distancia.
gongo - 7 febrero, 2012
A ojo de buen cubero, como dicen en mi tierra, el nudo queda a 2/3r cuando la cuerda se rompe,…….saludos
gongo
gongo - 7 febrero, 2012
Hago claridad queda a 2/3 de r de la superficie de la comuna, o sea del perimetro exterior,…
Ing. Luis M. Ferrero - 7 febrero, 2012
No, tu respuesta es algo mas de cuatro veces la respuesta verdadera. Repasa, algo se te escapó.
Jose Rafael Cabrera Sepulveda - 7 febrero, 2012
O.K., Se forma, entre el nudo y el arco de la columna un triangulo que tiene su base en el «centro» de la circunferencia de la columna y, que al ser equilatero, la distancia a la que queda de la columna es la que queda entre el borde de la columna y el nudo. Como el triangulo es equilatero, su base tiene como ancho el diametro de la columna al que llamaremos B. El centro esta a B/2 (de la columna y el triangulo) por lo que la distancia del centro de la columna a el nudo es la raiz cuadrada de los cuadrados B menos B/2. La distancia de la columna al nudo es ese resultado menos B/2.
Pierdomi nici Claudio - 7 febrero, 2012
el nudo queda a 0.16 r del borde de la columna
Pierdominici Claudio - 9 febrero, 2012
Cual es el razonamiento del ingeniero vs el matematico?
El matematico palntea ecuaxiones geometricas
el ingeniero hace o deberia hacer el siguiente razonamiento:
si no hay ningun tipo de rozamiento la cuerda esta sometida en toda su extension a la misma fuerza de tracci+on.
en el nudo se encuentran tres tramos de cuerda = tres fuerzas concurrentes iguales
por lo tanto para estar en eequilibrio debeb estar separadas entre si angulos iguales =120°
el resultado aproximado que di lo saque con compas y regla. y es aproximado
saludos y gracias por proponer estos desafios
Ing. Luis M. Ferrero - 10 febrero, 2012
Bueno, el día 8 ya publiqué las ideas fundamentales. Lo que dices está muy bien.
Diego Araya - 26 noviembre, 2012
Se debe realizar un DCL en el nudo, donde hay dos fuerzas generando un angulo de 60° con respecto a la horizontal que empujan el nodo hacia la columna, y otra fuerza horizontal que empuja el nodo hacia el perro (60° ya que esta da la condición de estática en el nodo)
luego se debe calcular la distancia a la cual se encuentra el nodo del centro de la columna. lo cual se puede aproximar generando un triangulo rectangulo con un angulo de 60° en el vertice que representa el nodo. Sin embargo, eso no es exacto, ya que se el circulo está circunscrito en el triangulo, logrando que se forme un arco de igual manera en el punto de contacto entre la cuerda y la columna.
Por lo cual, se deberia calcular el largo de ese arco y luego por trigonometria con ayuda de los 60° se puede determinar el largo de la cuerda desde el punto de union cuerda-columna hasta el nodo.
Espero que se haya entendido mi punto de vista de como solucionar el problema.
ING. JUAN ANTONIO GONZALEZ GOMEZ - 2 abril, 2014
X = K – (2r π)
jossferz - 2 abril, 2014
Distancia maxima del nudo Di=k/2 – Pi r
distancia minima del nudo r+r/cos60 = 0.15r aprox
medido del centro de la columna
diego conde - 2 abril, 2014
k- ( ( (pi*r2 ) / 4) )+4r )
Eliezer Ortiz - 3 abril, 2014
El nudo se queda en la columna mientras el perro le brinca y le mueve la cola a su amo
William - 3 abril, 2014
Hola. explico mi solución.
-Antes de que se rompa la cuerda, la única situación de equilibrio es en donde en el nudo concurren tres fuerzas iguales, estas fuerzas forman entre si ángulos de 120° (ya que la cuerda y la columna son totalmente lisos).
-La distancia en esta situación se determinaría trazando una perpendicular desde el centro de la columna a las cuerdas tangentes.
-Aquí formaríamos un triangulo rectángulo de 60 y 30° donde el Cateto opuesto al ángulo de 60° sería el radio mismo de la columna.
-La distancia del nudo al centro de la columna sería
d = 2r/raiz(3) = 1.1547r
-Esa sería la respuesta si después de rota la cuerda el nudo quedara donde está, bueno el razonamiento podría ser que ya que la cuerda es lisa una vez rota la cuerda automáticamente desaparecen todas las fuerzas que generaban el equilibrio en el nudo y por lo tanto quedaría en el mismo lugar, cosa que no sería así de simple si la cuerda o la columna no fueran totalmente lisas.
E. Castro - 24 julio, 2014
a ojo de buen cubero, 24/53 de r
ALVARO EDUARDO PINEDA PINEDA - 24 julio, 2014
a una distancia igual= r((2(3^(0.5))/3)-1)… simple resuelto matematicamente desde Ecuador..
alejandro - 24 julio, 2014
Si la cuerda y columna son lisas (sin roce) la posición de equilibrio efectivamente forma un triangulo rectangulo de 30 y 60°, este ultimo desde el centro de la columna, luego se cumple que el nudo queda a una distancia igual al radio del borde de la columna
Carlos Quelal - 24 julio, 2014
Teniendo en cuenta que la cuerda sea lisa y no hay fricción, suponiendo que se forme un ángulo entre las cuerdas de 90, y despreciando k que es la longitud de la cuerda, pienso que la distancia del nudo hasta la superficie de la columna circular es X=raíz cuadrada (r2+r2)-r y ya, más nada.