Modelo Intensidad- Duración- Frecuencia para lluvias de diseño en la región central de Venezuela

El análisis de Intensidad – Duración – Frecuencia (IDF) de tormentas se utiliza para el diseño de estructuras hidráulicas. En zonas con escasa información hidrológica, como la Región Central de Venezuela (Estados Aragua, Carabobo y Cojedes), hay que hacer uso del análisis regional. Esta investigación tiene por objeto establecer modelos regionales que reemplacen al análisis IDF tradicional para estimar dichas intensidades. Se utilizan los registros pluviográficos disponibles de 14 estaciones distribuidas sobre la región en conexión con modelos de correlación y regresión, y la Ecuación General de Frecuencias. Los resultados se presentan como expresiones matemáticas para calcular la intensidad I en función del período de retorno T y la duración D y expresiones lineales para calcular los parámetros μ y σ (de la ecuación general de frecuencias). La correlación obtenida es muy buena, con coeficientes de correlación mayores que 0.99, indicando que los modelos se puede utilizar como una herramienta útil y confiable para estudios preliminares en la región Central de Venezuela.

INTRODUCCIÓN

El diseño de pequeñas estructuras hidráulicas requiere del conocimiento de las características de las tormentas, tal como Intensidad, Duración, Frecuencia y Altura total de precipitación. Las relaciones Intensidad – Duración – Frecuencia (IDF) y Altura – Área – Duración (AAD) son importantes para el diseño y aún se usan cuando existe información. Últimamente su importancia se ha incrementado debido al énfasis introducido en la planificación sobre el manejo de la contaminación difusa de la escorrentía en áreas urbanas y rurales.

Las relaciones IDF normalmente se presentan como familias de curvas o mapas para cada período de retorno, de los cuales se extraen las magnitudes de Intensidad deseadas para el diseño.

En regiones con poca información los patrones IDF tiene que establecerse utilizando los escasos datos disponibles; el objetivo de esta investigación es el de establecer un modelo regional para dichos patrones utilizando la Ecuación General de Frecuencias y la linealización de la curva de precipitaciones acumuladas.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Ciertos análisis hidrológicos requieren de la estimación de intensidades o alturas de precipitación para duraciones y frecuencias preestablecidas. Dichos datos generalmente se encuentran disponibles en forma de tablas, gráficos o mapas. Una tormenta o lluvia de diseño se especifica a través de sus parámetros Intensidad, Duración y Frecuencia, ya sea expresadas como magnitudes o relacionadas en un modelo matemático que se deduce sabiendo que la Intensidad I, la Duración D y la Altura o Profundidad de lluvia P se relacionan como se indica a continuación:

P = I x D; o I = P/D                        (1)

Para lluvias puntuales la relación IDF se expresa matemáticamente mediante la expresión general

I = C T^m / ( D + b)ⁿ                         (2)

donde I es la Intensidad; T la Frecuencia (período de retorno) expresado en años; D la duración : C, b, m, n, son parámetros a ajustar mediante regresión no lineal.

Las curvas IDF se elaboran utilizando alguna función de distribución de frecuencias. En Venezuela se ha estandarizado el uso de la Distribución de Valores Extremos de Gumbel Tipo I. El uso de esta función se simplifica utilizando la Ecuación General de Frecuencia, es decir el denominado método de Factor de Frecuencia de Chow:

I_T = μ_I + σ_I K_T                         (3)

donde μ_I y σ_I son el promedio y la desviación estándar de I; K_T es el Factor de Frecuencia , el cual se encuentra tabulado en los textos de hidrología o estadística como una función del período de retorno T y del número de años de registros utilizados en el análisis. Para largos períodos de registro, el valor de K_T se calcula mediante la siguiente expresión:

K_T = – (6/Π){0.5772 + Ln [Ln (T/(T – 1))]}         (4)

Para estimaciones preliminares la Ecuación (4) se puede utilizar para cualquier longitud de registro, ya que los resultados están dentro de los niveles de error aceptables.

La altura total o profundidad de lluvia P y la duración D se relacionan en forma parabólica, como se indica

P = D /( A +BxD)                         (5)

donde A y B son parámetros a ser ajustados por correlación.

Transformando la Ecuación (5) se puede obtener una relación lineal entre I y D, como sigue:

P/D = I = 1/ (A + BxD)                 (6 a)

1/I = D/P = A + Bx D                    (6 b)

El parámetro I vendría a ser el equivalente de μ_I en la ecuación (3) y en lo sucesivo se usan de forma sinónima.

Siguiendo el mismo razonamiento, se deduce la siguiente expresión para la desviación estándar:

σ_I = 1/ (A’ + B’ x D)                         (7)

donde A’ y B’ son parámetros a ser ajustados por correlación.

Las ecuaciones (6) y (7) se pueden utilizar en conexión con las ecuaciones (3) y (4) para estimar la Intensidad de Diseño para duraciones y frecuencias preestablecidas.

Otros modelos se han propuesto para estimar las relaciones IDF. Bilham (1962) desarrolló la siguiente expresión:

n = 1.25 D (r + 0.1)^{– 3.55}                     (8)

donde n es el número de ocurrencias en 10 años; r es la Profundidad de precipitación en pulgadas; y D es la Duración en horas.

En la Ingeniería Hidráulica lo que usualmente se desea conocer es el período de recurrencia para una altura de lluvia o intensidad. Esto se obtiene transformando la ecuación (8) en tal forma que:

1. Para la altura P

P = [(2.114 x 10⁵ T D)/600]^1/3.55 – 2.54             (9)

donde T es la frecuencia de ocurrencia expresada como una vez en T años = 10/n; D es la duración D en minutos.

2. Para la Intensidad I:

I = (60/D)[(202.3 T D)^{– 3.55} – 2.54]             (10)

Wenzel (1982) desarrolló el siguiente modelo para estimar I en diferentes ciudades de Estados Unidos de Norte América:

I = c/(D^e + f)                         (11)

donde I es la intensidad dada en mm/h; D, duración en minutos; c, e, f , son parámetros que varían como sigue: c entre 20 y 124; e, entre 0.63 y 0.97; f, entre 2.06 y 13.9.

La Organización Meteorológica Mundial (WMO, 1983) proporciona la siguiente ecuación para estimar los valores envolventes superiores para I:

I = 422 D^{– 0.525}                         (12)

donde I está dada en mm/h y D en horas.

Sobre la base de la ecuación (2), la variación de I en Venezuela se expresa mediante el método de la intensidad instantánea en conexión con el coeficiente de avance de las tormentas (Guevara y Cartaya, 1998; y Guevara, 2000), como sigue:

I = C [(1 – n) (D + b)]/ (D +b)^{n + 1}                 (13)

D = T_a /r                             (14)

Donde:

C = C’T^x

T = Intervalo de recurrencia en años

C’, x, b, n, son parámetros a ser ajustados

D = Duración total de la tormenta

T_a = Tiempo al pico del hietograma.

r = coeficiente de avance ( 0.410; s = 0.075 para Venezuela)

Los valores de I en términos de D y T_a se encuentran usando las ecuaciones (13) y (14).

    Cartaya y Guevara (1993) usaron el análisis IDF para definir la distribución de lluvias cortas en Venezuela; encontraron la siguiente relación entre la lluvia total P_D para duraciones D menores que 60 minutos y la lluvia de 60 minutos, P₆₀:

R = 0.14 D^0.49                         (15)

r = 0.980

donde R = P_D / P₆₀

Si bien, la ecuación (15) no trata directamente con la Intensidad, permite estimar su magnitud para duraciones cortas conociendo la intensidad de 60 minutos de duración.

METODOLOGÍA

La investigación se desarrolló en las siguientes etapas:

1. Se seleccionaron los eventos de tormentas de diferentes duraciones utilizando los registros de 14 estaciones operadas por el Ministerio del Ambiente y de los Recursos Naturales (MARN).

2. Se elaboraron las curvas IDF para cada estación

3. Utilizando la Ecuación (2), denominada en lo sucesivo Modelo 1, y las ecuaciones (6) y (7) , denominadas en lo sucesivo Modelo 2, se calcularon los parámetros de ajuste de dichos modelos. Para el Modelo 2 los datos fueron ajustados de la siguiente forma:

a. Intensidad I: I en mm/h y D en minutos:

μ_I = 60/[A + B D)                        (16)

b. Desviación estándar: σ_I en mm/h y D en minutos:

σ_I =  60/ (A’ + B’ D)                     (17)

4. La bondad de ajuste de los modelos se juzga mediante el error estándar de estimación. Los resultados se presentan en forma tabular.

RESULTADOS

En la Tabla 1 se presentan los resultados obtenidos para el Modelo !. A juzgar por el coeficiente de correlación, existe un muy buen ajuste de los parámetros del modelo en la Región Central de Venezuela, tanto al nivel de las estaciones individualmente, como al nivel de toda la región. El coeficiente de correlación mínimo es de 0.980 (Estación San Carlos -UNELLEZ); el valor máximo es de 0.999, en la estación El Retaso. Por tanto, se puede regionalizar el Modelo 1 para toda el área estudiada. La expresión regional obtenida es como sigue (ver Tabla 1):

I = 634T^0.222 / (D + 4)^0.714                (18)

Con R = 0.996

Donde I es la intensidad de diseño para un período de retorno de T años y una duración de D minutos.

En la Tabla 2 se presentan los resultados obtenidos para el Modelo 2, tanto al nivel de cada estación, como al nivel regional. Para la intensidad media, el valor de A varía entre 0.035019 y 0.7939, con un promedio de 0.499 y una desviación estándar de 0.1322. El valor medio de B es de 0.01644, variando entre 0.01087 y 0.02203; la desviación estándar es 0.0027. Aunque el número medio de de pares utilizados en la correlación es bajo, el coeficiente de correlación es siempre mayor que 0.995. Para la desviación estándar de las intensidades, A varía entre 0.91464 y 2.96061, con una media de 1.75201 y una desviación estándar de 0.54086; el valor de B varía entre 0.01861 y 0.6179, con un valor medio de 0.03733 y una desviación estándar de 0.0112. El coeficiente de correlación es siempre mayor que 0.90. El error estándar medio de estimación de la Intensidad está al rededor del 12 %. Para el caso de la desviación estándar dicho error llega hasta el 58 %. Al igual que para el caso del Modelo 1, el Modelo 2 también se adapta para estimar los parámetros de diseño de las tormentas en todas las estaciones, cuya extrapolación al nivel regional arroja los siguientes resultados:

a. Para la Intensidad media μ_I en mm/hora:

μ_I = 60/ (0.499 + 0.0164 D)                 (19)

Con R = 0.998 y s_e = 0.1182

b. Para la desviación estándar σ_I en mm/hora:

σ_I = 60 /1.752 + 0.037 D                (20)

con R = 0.985 y s_e = 0.0255

Con la finalidad de comparar la precisión de ambos modelos en la estimación de las intensidades de diseño de la Región Central de Venezuela, se calcularon los valores de I utilizando ambos modelos para períodos de retorno de 2, 5, 10, 25, 50 y 100 años y duraciones de 5, 10, 15, 30, 60, 120, 180 y 360 minutos y se compararon los resultados con los valores observados disponibles en todas las estaciones y al nivel regional. En la Tabla 3 se presenta un resumen de esas comparaciones.

Los valores de la Tabla 3 indican que ambos modelos se adecuan por igual para la estimación de los parámetros de diseño de las tormentas en la Región Central de Venezuela.. El máximo error estándar de estimación en el Modelo 1 es de 15.6% (estación 10). Para el Modelo 2, dicho error máximo es de 22.2 % ( estación 1). Al nivel de toda la región, el error estándar de estimación es menor del 8 % en ambos modelos. Por tanto, el diseñador puede utilizar indistintamente los modelos, de acuerdo a la información adicional disponible y su preferencia personal.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

En este trabajo se ha establecido un modelo IDF para las tormentas en la Región Central de Venezuela utilizando los registros de 14 estaciones distribuidas en toda la región. El modelo 1 puede usarse directamente para estimar la Intensidad de diseño seleccionando un período de retorno y la duración deseados; los parámetros del modelo se dan en la Tabla 1 y el la Ecuación (18). El Modelo 2 puede usarse para estimar los parámetros de diseño de las intensidades (media y desviación estándar, los que a su vez se aplican en conexión con la ecuación general de frecuencia de Chow para estimar la magnitud de la intensidad para duraciones y períodos de retorno preestablecidos (Ecuaciones 3 y 4). Para estudios preliminares, la intensidad media y su desviación estándar pueden calcularse utilizando los parámetros de regresión dados en la Tabla 2. Para estudios más detallados, pueden elaborarse mapas de isolíneas para dichos parámetros y usarlos en conexión con las ecuaciones (16) y (17). En ambos casos, los parámetros de diseño de las tormentas se calculan mediante las ecuaciones (3) y (4).

Se recomienda revisar los resultados a medida que se disponga de información nueva y confiable.

Reconocimiento: El trabajo presentado constituye una parte de los resultados del Proyecto de Investigación 98 – 026 financiado por el Consejo de Desarrollo Científico y Humanístico de la Universidad de Carabobo (CDCH – UC).

REFERENCIAS

• Bilham E. G. (1962): «The classification of heavy Falls of Rain in short     periods». H.M.S.O., London. Republished.
• Guevara, E. y H. Cartaya (1993): » Time distribution of short duration storms in Venezuela». En: International Conference on Stochastic and         Statistical Methods in Hydrology and Environmental Engineering.         University of Waterloo, Canada.
• Guevara, E. y H. Carataya (1998) «Storm advancement coefficient for the     design precipitation hyetographs in Venezuela». AGU/HYDROLOGY     DAYS. 1998.
• Guevara, E. (2000): «Patrón de distribución del hietograma de las tormentas en Venezuela».III Congreso de Investigación en la Universidad de Carabobo. Junio 04 – 09. 2000. Valencia, Venezuela
• USDA – SCS , 1986. «Urban Hydrology for Small Watersheds». Tech release No. 55, June 1986.
• Wenzel, H. G., 1982. «Rainfall for Urban Stormwater Design». In Urban Storm Water Hydrology. Ed. By David F. Kibler, WRM 7. AGU. Washington
• DC.
• WMO (1983): » Guide to Hydrological Practice. Vol. II. Analysis, Forecasting and Applications, WMO No. 168, 4th. Ed.. Geneve, Switzerland
• Yen, B. C. and V. T. Chow, 1980. «Design Hyetograph for Small Drainage Structures». J. Hyd. Div. Am. Soc. Civil Eng. Vol 106 No.HY6. Pp     1055 – 1976.
  

Escrito por: Edilberto Guevara Pérez para CivilGeeks.com

• Profesor de Ingeniería Civil
  
• Director Ejecutivo del CDCH – UC
  
• Universidad de Carabobo
  
• E.Mail: eguevara@thor.uc.edu.ve
  

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