Libro de dinámica de estructuras con MATLAB

Se inicia el libro con la presentación de un manual rápido de uso del programa MATLAB, orientado a que el lector comprenda los programas que se desarrollan en los diferentes capítulos del texto. MATLAB es un programa muy poderoso, que permite con pocas sentencias realizar cálculos numéricos avanzados y esto fue lo que me motivo a elaborar una serie de programas sobre los temas que se tratan ya que la lectura de los mismos servirá para comprender mejor el marco teórico expuesto. Además de ello el lector contará con programas que le faciliten su aplicación práctica a futuro.

En el primer capítulo se trata sobre la respuesta dinámica de sistemas de un grado de libertad, para el efecto se trata primero el caso de vibración libre, luego se estudia las vibraciones forzadas ante excitación armónica y finalmente la respuesta en el tiempo ante pulsos rectangulares. Hay dos aspectos de interés muy práctico que son: el cálculo del factor de amplificación por desplazamientos y el factor de amplificación de fuerzas, cuando la frecuencia de la excitación armónica es similar a la frecuencia de vibración de la estructura, es decir cuando se está cerca de la resonancia.

El segundo capítulo está dedicado a tratar los Espectros de Respuesta Elásticos, se encuentra en primer lugar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica por el Método de Newmark, luego para ilustrar como se obtienen los espectros se halla la respuesta de dos sistemas de un grado de libertad, que tienen diferentes períodos ante un mismo sismo y finalmente se definen los espectros de respuesta. La importancia de conocer las formas espectrales en una determinada localidad se lo ilustra al analizar la forma de los espectros, de los sismos de 1985 registrados en México y en Chile.

En el tercer capítulo se estudia los Espectros de Diseño, para ilustrar la forma de cálculo se halla el respectivo espectro de diseño, en base a 17 acelerogramas de sismos registrados en el Perú, los mismos que fueron normalizados, para que todos ellos tengan una aceleración máxima del suelo del 40% de la aceleración de la gravedad. La forma espectral obtenida fue comparada con las formas espectrales del Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000, para los cuatro perfiles de suelo. Luego se presenta el trabajo realizado por Seed, Ugas y Lysmer en 1976 que ha sido empleado en forma indirecta en la formulación de espectros de diseño en varias normativas sísmicas de América Latina.

El capítulo cuatro es una magnifica oportunidad para repasar la teoría de Análisis Matricial de Estructuras, ya que se detalla la forma como se obtiene la matriz de rigidez de una estructura por Ensamblaje Directo, a partir de las matrices de rigidez de los elementos. Se ilustra el cálculo del arreglo que contiene los grados de libertad, del vector de colocación y del ensamblaje. Se presenta los diagramas de flujo y el respectivo programa de computación. Posteriormente se indican algunas formas de obtener la matriz de rigidez condensada, desde la más elemental que es mediante la inversa de una matriz hasta la más práctica que se tiene en la triangularización de la matriz de rigidez, empleando Gauss.

El capítulo cinco está dedicado a la matriz de Masas de cualquier tipo de estructura, claro está que por facilidad se orienta a los marcos planos pero la formulación es general y esto se ha tratado de demostrar cuando se resuelve un modelo muy sencillo en el cual se involucra la interacción suelo estructura. Para evaluar la matriz de masas se debe calcular primero la Energía Cinética, para facilitar este cálculo se da una regla muy práctica.

En el capítulo seis se determinan los modos de vibración de una estructura sin considerar amortiguamiento. Por lo tanto, se resuelve el problema de vibraciones libres en sistemas de múltiples grados de libertad sin considerar amortiguamiento. A pesar de que el cálculo se reduce a una sentencia con MATLAB sin embargo se presenta uno de los métodos clásicos de la obtención de los valores y vectores propios como es el Método de Jacobi, de igual manera se ilustra el algoritmo de M1/ 2 para que el lector aprecie la bondad del MATLAB y de paso conozca como se obtiene manualmente. Finaliza el capítulo con el cálculo de los Modos Ritz en el que se consideran todos los grados de libertad de la estructura.

En el capítulo siete se halla la matriz de amortiguamiento de dos maneras, la primera mediante el Método de Rayleigh y la segunda empleando el algoritmo de Wilson y Penzien. Un aspecto muy interesante es el desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales, tema que se aborda en este capítulo, como también se ilustra el cálculo del exponencial de una matriz orientado a la solución del problema de vibraciones libres, en sistemas de múltiples grados considerando la matriz de amortiguamiento, en este caso se tienen modos de vibración en desfase, por este motivo es que los valores y vectores propios son números complejos.

El Análisis Sísmico Lineal de estructuras sometidas a acciones sísmicas es tratado en el capítulo ocho, encontrando la respuesta dinámica aplicando el Método de Newmark para sistemas de múltiples grados de libertad. Como aplicación práctica se halla la respuesta en el tiempo, del cortante basal, de una estructura sometida a un acelerograma artificial que es compatible con el espectro elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 y se aprovecha el ejemplo para ilustrar que un factor de reducción de las fuerzas sísmicas igual a 10 es muy alto para estructuras conformadas por vigas y columnas. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

En el capítulo nueve se halla la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados de libertad aplicando el Procedimiento de Espacio de Estado que es muy útil utilizarlo cuando se analizan estructuras con sistemas de control. Es importante que el lector conozca sobre esta temática para cuando estudie el cálculo sísmico de estructuras con disipadores de energía pueda seguir la parte numérica de la evaluación de la respuesta dinámica.

En el capítulo diez se presenta en primer lugar la ecuación diferencial que gobierna el problema de vibraciones de una viga de flexión y luego se resuelve el problema de vibración libre, se hallan las formas de vibración de una viga en voladizo, de una viga simplemente apoyada y de una viga en voladizo en la cual se incluye el efecto de la interacción suelo estructura. En este modelo se ilustra mediante gráficos como en suelos de baja resistencia los períodos de vibración de las estructuras se amplifican; en base al estudio se presentan parámetros en los cuales se indican en que tipo de suelos es necesario o no el cálculo con la interacción suelo estructura.

El capítulo once está dedicado al cálculo de una viga de corte, para el efecto se deduce la ecuación diferencial y se resuelve el problema de vibración libre y de vibración forzada, ante una acción sísmica. Se obtiene el primer modo de vibración de una viga de corte y se compara con el primer modo de vibración de una viga de flexión con lo cual se demuestra que en los primeros pisos la viga de flexión tiene menores amplitudes y en los últimos pisos tiene mayores amplitudes, que la viga de corte en que el comportamiento es al revés.

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Autor:
Dr. Ing. Roberto Aguiar Falconí
Centro de Investigaciones Científicas
Escuela Superior Politécnica del Ejército