El Producto Vectorial

Se desarrolla una exposición histórica del origen de la operación que llamamos producto vectorial, destacándose los problemas y conceptos matemáticos que llevaron a su introducción en el Algebra. Se incluye una descripción de las mas destacadas y representativas aplicaciones de este producto en Física y Matemáticas, ası como una visión general de las diferentes alternativas para generalizar este producto a espacios de más dimensiones.

La tercera operación aritmética básica, el producto, es en Matemáticas y en Física una de las fuentes de mayores sorpresas. Para números convencionales, tales como los números reales, R, la definición del producto no presenta ningún problema, ya que simplemente es cuestión de una extensión trivial de las reglas para el producto que tenemos en los números enteros, Z, y los racionales, Q.

Contenido:

• Introducción
• Historia y desarrollo del producto vectorial 
  • W. R.Hamilton: complejos, cuaternios y vectores
  • Grassmann y el cálculo de extensiones
  • Gibbs, Heaviside y el análisis vectorial
  • William K. Clifford
  • Una síntesis moderna del producto vectorial
  • Matrices, SO(3) y producto vectorial
  • Notación tensorial y producto vectorial
  • Vectores axiales y quiralidad .
• Aplicaciones del producto vectorial
  • Aplicaciones en Matemáticas
  • Cálculo de áreas y volúmenes
  • Teorema de Stokes
  • Algebras de Lie y producto vectorial
  • Método de Cayley-Dickson, semioctavas, octavas y Matrices de Zorn
  • Otras utilidades matemáticas
  • Aplicaciones en la Física
  • Momento angular y torque
  • Vector de Laplace-Runge-Lenz
  • Sistemas de referencia no inerciales
  • Redes de Bravais
  • Expresión de la fuerza de Lorentz y vector de Poynting
  • Ley de Biot-Savart
  • Ecuaciones de Maxwell
  • Rotacional y vorticidad
• Generalizaciones
  • Algebras normadas en D=1, 2, 4, 8
  • Producto exterior y Algebra de Grassmann
  • Forma de volumen y dual de Hodge
  • Algebras de Clifford ( Algebra geométrica)
• Pedagogía y Didáctica
  • La regla del tornillo y del sacacorchos
  • La regla de la mano derecha
  • La técnica e intuición algebraicas
  • Problemas comunes de tipo didáctico y recursos pedagógicos
• Conclusiones y discusión
• Cronología algebraica
• Perfiles biográficos
  • W. R. Hamilton
  • Hermann Günther Grassmann
  • Oliver Heaviside
  • Josiah W. Gibbs
  • Arthur Cayley
  • W. K. Clifford
  • Nabla

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Autor: Juan Francisco González Hernández
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