IDEALIZACION DESDE EL PUNTO DE VISTA DINAMICO (VIBRATORIO) DEL MOVIMIENTO O DESPLAZAMIENTO DE UNA EDIFICACION DEBIDO A UNA EXCITACIÓN DINAMICA.(I)

Este artículo está hecho para aquellas personas que no hayan cursado la asignatura “Dinámica Estructural” o   “Mecánica de Vibraciones” o que al tratar de leer un texto de esas disciplinas no logre entenderlo.

Cuando queremos explicar científicamente el movimiento o desplazamiento de una edificación usamos  un modelo Físico-Matemático considerado como el más simple existente:

-Un Péndulo.  

-Un resorte conectado a una masa.

Tanto el péndulo como el resorte están conectados a una masa. El resorte representa la posibilidad de desplazamiento en una dirección y la masa representa a la correspondiente a un entrepiso de una edificación. Se supone que tanto el desplazamiento como la masa se verificaran en el lugar de la losa de entrepiso que es lo que llamamos como Diafragma Rígido.          

Sabemos por la física que F = k.x esto nos dice que una fuerza es igual a la constante elástica del resorte multiplicado por el desplazamiento. Como es posible que el péndulo o el resorte tengan diferentes trayectorias damos por válido,  que la fuerza es variable en el    tiempo dado que k, es constante. Si lo extrapolamos a la edificación la constante de resorte será la del entrepiso que es lo mismo que la oposición al desplazamiento del entrepiso. Podemos plantear:

M.a + K.x = 0      (1)

Esta es la Segunda Ley de Newton expresada en términos de equilibrio. Como queremos saber el cambio de los desplazamientos, velocidades o aceleraciones, que es lo que denominamos como “Respuesta en ,  el tiempo para una excitación dada” debemos convertir esta ecuación a una que este expresada en función del tiempo.

Recordemos que a = d2x/dt2   –>  M.d2x/dt2 + K.x =0    (2)

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden y su solución es una de las siguientes (da igual) :

x = Acos(wt)   (3)

x = Asin(wt)    (4)

Debemos resolver esta ecuación para poder conocer la Respuesta de la estructura, pero eso lo continuaremos en la próxima.

Si tomamos la primera y derivamos:

dx/dt =- Awsin(wt)   (5)

d2x/dt2 = -Aw²cos(wt)   (6)

Insertando (6) en la ecuación (2)  –>  K.x – Aw²cos(wt).M   = 0

Dividiendo por  M  –>  (K/M).x – Aw²cos(wt) = 0

Insertando (3)  –> (K/M).Acos(wt) – Aw²cos(wt) = 0    –>  Acos(wt)(K/M-w²) = 0

Como Acos(wt) multiplica a la otra parte  podemos decir K/M-w² = 0    pasando Acos(wt) a multiplicar por 0 –> w² = K/M     

 w =  Raiz (K/M)    Esta es la frecuencia natural del sistema.

Esta ecuacion es la ecuacion de un sistema no amortiguado con un grado de libertad. Eso significa una estructura que solo se desplaza en una direccion (grado de libertad dinamica).

Si tenemos un portico como el siguiente:

x representa el único grado de libertad dinámica. K seria las de las columnas  (12EI/L³) y vigas si se desean incluir. Las columnas suman sus rigideces porque están en paralelo.

Más adelante continuaremos estas sencillas clases.